확률 및 통계 - 2. Continuous Proability Densities

이전 포스팅에서는 Discrete Sample Space에 대해 알아보았다.

이번에는 Continous한 경우에 대해 알아볼 것이다.

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ex) pick any real number on the interval [0,1]

=> 이 경우, 0~1 사이에는 셀 수 없는 무한한 수가 존재하므로 distribution function을 정의할 수 없다.

Ω = { r | r ∈ [0,1] }, X : outcome

이 때,

i ) P(0<=X<=1) = P( Ω ) = 1

ii ) P(0<=X<=0.5) = 0.5 일 것이다.

 

이렇듯, Sample space가 uncountable일 시, random value X는 continuous value라고 한다.

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Def 2.1)

X가 Continuous r.v.일 시, X의 density function은 f:R^n->R의 함수로 표현될 수 있다.

그리고 P(a<=X<=b)는  a~b까지 f(x)를 적분한 값이다.

마찬가지로 P(X ∈ E) = f(x)를 E의 구간만큼 적분한 값이다.

 

=> ex : pick any real number on the interval [0,1]

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결국 P(X=x)인 경우는 P(X ∈ [X,X])와 동일하고, 이는 Density function f(x)가 어떻게 구성되든 f(x) = 0임을 의미한다.

따라서 Continous 의 경우는 outcome이 특정 x일 확률은 "0"이다.

 

ex) X = continous r.v. with density function f(x)= cx (0<x<4), 0(otherwise)

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* Cumulative Distribution function of Continous (연속의 경우에서 정의되는 누적 분포 함수)

 

Def 2.2)

X : continous r.v. 일시, cumulative distribution function(CDF) Fx는 Fx(x) = P(X<=x)로 정의된다.

즉, 확률변수 X가 -∞ 부터 특정 포인트(input)까지 누적된 확률을 결과값으로 하는 함수이다.

input 값을 x 라고 하면, ouput 값은 x 보다 작거나 같을 확률이다.

 

Thm 2.1)만약 x에서 Fx가 미분 가능하다면, d/dx Fx(x) = f(x)이다.

 

ex)real number chosen at random from [0,1]. (equally likely)r.v.x : square of the result.

 

 

 

*교재에 제시된 문제 풀이가 이해되지 않아 더 자세히 공부 후 다시 작성해야할 듯 하다.