확률 및 통계 - 7. Sums of Independent Random Variables

* Sums of Discrete Random Variable

- Convolution

X,Y : two independent discrete R.V. with distribution functions m(x) and m(y) (Ω : Integer)

r.v. Z = X+Y.

이 때, Z의 distribution은 X=k 라고 두고 m(z) = P(Z=z) = sum(P(X=k)P(Y=z-k)) {X=0~k} 로 구할 수 있다.

 

따라서 X,Y가 2개의 independent discrete r.v.s 이며 m1(x), m2(y)를 가진다고 하였을 때, 

m1(x), m2(y)의 convolution인 distribution function m3(z) = m1(x)*m2(y)는 다음과 같이 정의된다.

 

같은 식으로 접근하면 S(n) = X1~Xn의 합일 때 S(n) = S(n-1) + Xn 이므로 Sn의 distribution function은 다음과 같이 정의될 수 있다.

Ex)

한 개의 주사위를 2번 굴릴 때, 그 결과를 X1,X2 라고 하자. 이때 r.v. S2 = X1+X2로 정의된다.

S2의 Distribution function 은?

만약 S3 = X1+X2+X3 와 같이 주어졌다면,

P(S3=3) = m2(k)m(3-k) = P(S2=2)*m(1) = 1/216 과 같이 구할 수 있다.

 

- Sums of continuous Random Variables

X,Y : Conti r.v. with density functions f(x) and g(y)

=> f,g의 convolution은 다음과 같이 정리된다.

X,Y가 독립이며 fx(x), fy(y)를 가진다면, Z=X+Y의 density function fz는

fz(z) = fx*fy로 나타낼 수있다.

* Sum of two independent Uniform Random Variables

(0<z<1, 1<=z<=2로 나눈다.)

 

* Sum of two exponential Rnadom Variables

* chi-squared density(X^2)

degree of freedom이 m일 경우

gamma function(m/2) * 2^(m/2)

* Gamma function

(observed - n*m(x))^2 / n*m(x)일 때, V는 자유도가 n-1인 chi-distribution을 지닌다.

 

* r.v. X1,X2,X3...Xi가 i.i.d.이면서 Sn=X1+X2+...+Xn일 때 fsn(x)=(fx1*fx2*fx2*...*fxn)(x)이다.

ex)

roll a die

=>

=> 자유도가 5인 chi density function을 지닌다.

 

ex)

r.v. Xi 가 [0,1]사이에서 uniformly distributed fkaus, Sn = X1+X2+X3+...일 때,

 

ex) Xi가 exponential 이라면, 

ex) Xi가 표준 정규 분포를 따른다면,