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10.1. Generating functions for Discrete distributions평균과 분산만으로는 분포에 대한 모든 정보를 알 수 없다. * Momentsμk : k-th moment of Xμk = E(X^k)ex) μ = E(X) = μ1, σ^2 = E(X^2) - (E(X))^2 = μ2 - ( μ1)^2 => 정의된 X에 대한 모든 moment들을 알면 X에 대한 분포를 정의할 수 있다. * moment generating functions(m.g.f.)더보기Ex)더보기더보기* Moment ProblemX가 유한한 Sample Space의 discrete r.v.이고 moments µk = E(X^k) 이면, 다음의 정리가 모든 t에 대해 수렴한다.=> 어떤 분포 p로 정의되는 ..

X1,...,Xn이 평균을 μ, 분산을 σ^2 으로 지니는 i.i.d. 조건 분포에서 random sampling(independent trials)되었다고 생각해보자.Sn = X1+X2+...+Xn, An = (Sn)/n 이다.이 때, 이전까지 증명했던데로 다음의 2가지는 자명한 사실이다. 1. E(An) = μ2. n을 무한으로 늘리면 An -> μ 그렇다면 An(Sn)의 분산은 매우 큰 n에 대해 어떻게 변하게 될까?더보기1. Ø(x) : x를 가지는 standard Normal density function.2. NA(a*,b*) = Ø(x)를 a*~b* 구간에서 적분한 값.9.1. Central Limit Theorem for Bernoulli trials성공 확률이 p인 베르누이 시행은 Sn ..

* Discrete Conditional Probability - 어떤 Sample Space 상에서 Event E가 이미 일어난 뒤라고 가정해보자. 그렇다면 해당 사실이 다른 Event F에 영향을 미칠까? 미친다면 얼마나 미칠까. 이를 계산해보자. Def) P(F|E) = E가 일어난 공간에서의 F가 일어날 확률. 더보기 Ex) 주사위를 굴리자. Experiment : 주사위를 굴림 X : r.v(out come) E : event {E | X>4} F : event {E | X=6} => P(F|E)는 이미 E가 일어난 시점을 가정하므로 Sample space가 { 5, 6 } 으로 정의된다. 이 Sample Space에서 P(F)는 1/2이다. 따라서 P(F|E) = 1/2 * 위의 구하는 과정을..

* Experiment : 실제 혹은 가상의 과정에서 도출될 수 있는 결과를 만드는 행위. ( ex: Rolling a dice - { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, Tossing a coin - { Head, Tail } ) Def 1.1 * Random Variable : experiment에서 도출된 결과. ( ex: X가 rolling dice의 결과라고 했을 시, X=1 은 주사위를 굴려 1이 나왔다는 뜻이다.) * Sample Space : 모든 가능한 결과의 집합이다. (Ω) * 만약 모든 Sample Space가 Countable하다면, Random Variable은 Discrete(이산)이다. (Discrete : finite, infinite) * Event : Sample spa..