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* Law of Large Numbers for Discrete Random Variable * Markov's inequalityX가 P(X>=0) = 1인 r.v.일 때, 모든 t>0에 대해, P(X>=t) 더보기닫기증명) * Chebyshev InequalityX = discrete random variable with expected value  µ=E(X), and let ε>0 be any positive real number.더보기닫기증명)더보기닫기ex)E(X) =  µ, V(X) = σ^2 인 r.v. X에 대해 ε=kσ (k>0) 이라고 잡고 Chebyshev Inequality를 적용하면,이와 같이 정리가 된다.따라서 임의의 constant를 잡을 때, bound 값을 σ와 무관한 값으..

* Sums of Discrete Random Variable- ConvolutionX,Y : two independent discrete R.V. with distribution functions m(x) and m(y) (Ω : Integer)r.v. Z = X+Y.이 때, Z의 distribution은 X=k 라고 두고 m(z) = P(Z=z) = sum(P(X=k)P(Y=z-k)) {X=0~k} 로 구할 수 있다. 따라서 X,Y가 2개의 independent discrete r.v.s 이며 m1(x), m2(y)를 가진다고 하였을 때, m1(x), m2(y)의 convolution인 distribution function m3(z) = m1(x)*m2(y)는 다음과 같이 정의된다. 같은 식으로 접..

- Discrete R.V.에서 Expected Value (Expected Value는 개별적인 확률 변수의 값들을 나타내는 것이 아니라 그 확률 변수들이 나타내는 전체 분포의 특성을 요약해서 나타내는 요약이다.) Def) X가 discrete r.v.이고 m이 X의 distribution func. Ω가 sample space라고 하면 expected value(mean) E(X)은 x*m(x)의 총 합을 의미한다. 만약 x*m(x)의 sum이 수렴하지 않는다면, 기댓값이 무한한 것이 아니라 X는 Expected value가 없다고 표현한다. 더보기 ex) tossing a fair coin 3 times. r.v. X : # of heads. Ω = {0,1,2,3} E(X) = 0*m(0)+1*m..

이전 복습 문제) 더보기 사건 E와 F가 서로 독립임을 증명하기. * Joint density & cumulative distribution function Def. X1~Xn이 Conti. Random Variable이고, X'가 (X1...Xn)의 Joint Variable일 경우, X'의 Joint cumulative distribution func.는 F(x1,...xn) = P(X1

Def 3.1. n개의 서로 다른 요소로부터 만들 수 있는 모든 순서화된 목록의 수는 n*(n-1)*(n-2)*...*1 로 계산이 가능하다. 이를 n! 이라고 하자. (Factorial) 단 0!=1 이다. 더보기 증명) 1...n 개의 숫자열이 있다고 할 때, 1을 배치할 때는 n 개의 경우의 수 2를 배치할 때는 n-1 개의 경우의 수 3을 배치할 때는 n-2 개의 경우의 수... n을 배치할 때는 n-n+1 개의 경우의 수가 있다. => n*(n-1)*(n-2)*...*(1) Def 3.2. A : n 개의 element set, K는 0~n까지로 정의된 정수 sample space의 element 일 시, ( A: n-element set, K ∈ [n] ) A의 k 순열은 A의 크기가 k인 부..